浅谈向量积

向量积（Cross Product），又称叉积、外积，是向量的一种重要运算。这种运算在高中物理中极为常用，但不论是高中数学还是高中物理教材对此几乎都没有提及。

大小与方向

向量积仅在三维空间中有定义。设两个向量 $\boldsymbol a, \boldsymbol b$，则它们的向量积 $\boldsymbol a\times \boldsymbol b$ 是一个模长为 $|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin{\langle \boldsymbol a, \boldsymbol b\rangle}$，方向与 $\boldsymbol a, \boldsymbol b$ 都垂直的向量。根据三角形面积公式 $S=\dfrac{1}{2}|\boldsymbol a||\boldsymbol b| \sin\langle\boldsymbol a, \boldsymbol b\rangle$，$\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 的模长恰等于以 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 为邻边的平行四边形的面积。

由这个定义可知，如果 $\boldsymbol a, \boldsymbol b$ 共线，则 $\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 为一个零向量；如果 $\boldsymbol a, \boldsymbol b$ 不共线，则 $\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 所在的直线唯一确定。$\boldsymbol a\times \boldsymbol b$ 的方向究竟沿这条直线的哪一边呢？

我们用右手定则判定右手坐标系中向量的方向。右手食指指 $\boldsymbol a$ 方向，掌心朝 $\boldsymbol b$ 的反方向，则 $\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 的方向就是大拇指指向的方向。这一点与高中物理讲解的左手定则相似。

这样看来，$\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 与 $\boldsymbol b \times \boldsymbol a$ 正好互为相反向量。在右手坐标系中，对于两个垂直于 $z$ 轴的向量 $\boldsymbol a, \boldsymbol b$，如果 $\boldsymbol b$ 在 $\boldsymbol a$ 的顺时针方向，则 $\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 的 $z$ 坐标为负值；如果 $\boldsymbol b$ 在 $\boldsymbol a$ 的逆时针方向，则 $\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 的 $z$ 坐标为负值，简称“顺负逆正”。

坐标表示

设 $\boldsymbol a = (x_a, y_a, 0), \boldsymbol b = (x_b, y_b, 0)$，则 $\boldsymbol a\times \boldsymbol b=(0,0,x_a\cdot y_b-x_b\cdot y_a)$。

伪向量

在上面的例子中，如果我们把其中一个基向量的相反向量替代，可以得到 $\boldsymbol a = (-x_a, y_a, 0), \boldsymbol b = (-x_b, y_b, 0),\boldsymbol a\times \boldsymbol b=(0,0,-x_a\cdot y_b+x_b\cdot y_a)$。

我们惊奇地发现 $\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 的方向变化了。我们仅仅只是取了不同的基向量而已！事实上，向量积是伪向量，它在左手坐标系和右手坐标系下是不同的。我们在上面所有的推导只在右手坐标系下成立，在左手坐标系下，向量积适用“左手定则”和“顺正逆负”。

若线圈的位置和电流都对应点线镜面反射，其产生的磁场不会是原磁场的镜面反射，会是原磁场反射后，再加以反向。

高中物理涉及的有方向的物理量很多与向量积有关，大多是伪向量。此处不做深究。

例题

Codeforces 1254C Point Ordering

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